Minggu, 24 Januari 2021

TEORI PELUANG

 

Matematika Bisnis

Pertemuan 13

 

TEORI PELUANG

Teori peluang adalah cabang matematika yang berkaitan dengan peluang, analisis fenomena acak. Objek utama teori peluang adalah variabel acak, proses stokastik

Peluang merupakan sebuah nilai antara 0 hingga 1 yang menggambarkan kemungkinan pada sebuah peristiwa yang akan terjadi.

Kejadian majemuk adalah jika terdapat suatu kejadian atau percobaan yang berlangsung lebih dari satu kali sehingga menghasilkan kejadian baru, di mana kejadian baru tersebutlah yang disebut sebagai kejadian majemuk.

Beberapa kejadian yang dikatakan sebagai kejadian majemuk, diantaranya yaitu:

1. Dua Kejadian Sembarang

Dalam dua kejadian sembarang A serta B dalam ruang sampel S, maka akan berlaku rumus:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

Contoh soal 1:

Diketahui dari 45 siswa dalam suatu kelas, terdapat 28 siswa yang suka pada mapel Matematika, 22 siswa suka pada mapel bahasa Inggris, serta sisa 10 siswa suka kedua-duanya.

Apabila seorang siswa dipilih secara acak, maka tentukan peluang siswa yang terpilih merupakan siswa yang menyukai Matematika ataupun bahasa Inggris!

Diketahui:

  • n(S) = 45 (banyaknya anggota himpunan semesta)
  • Suka Matematika, n(M) = 28
  • Suka Bahasa Inggris, n(B) = 22
  • Suka keduanya, n(M ∩ B ) = 10

Jawab:

  • n(S) = 45
  • Suka Matematika, n(M) = 28
  • Suka Bahasa Inggris, n(B) = 22
  • Suka keduanya, n(M ∩ B ) = 10

Peluang di mana akan terpilih yang suka Matematika atau Bahasa Inggris adalah:

P (M ∪ B) = P (M) + P (B) – P (M ∩ B)

= 28/45 + 22/45 – 10/45

= 40/ 45

= 8/ 9

2. Komplemen Suatu Kejadian

Adapun rumus untuk mencari komplemen pada suatu kejadian, yaitu:

P (Ac) = 1 – P (A)

Contoh soal 2:

Suatu dadu dilempar sekali ke atas, maka hitunglah peluang munculnya mata dadu lebih dari dua.

Jawab:

Suatu dadu dilempar sekali, sehingga n (S) = 6

Apabila A = {mata dadu lebih dari sama dengan 2}

Maka dari itu, Ac = { mata dadu kurang dari atau sama dengan 2 } = {1, 2}, n(Ac) = 2

P (Ac) = n(Ac)/ n(S) = 2/ 6 = 1/ 3

Sehingga,

P (A) = 1 – P (Ac)

= 1 – 1/3

= 2/ 3

Sehingga, peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 yaitu 2/3.

3. Dua Kejadian Saling Lepas

Adapun rumus untuk menentukan dua kejadian saling lepas, yaitu:

P (A ∪ B) = P(A) + P (B)

Contoh soal 3:

Pada pelemparan satu dadu bermata 6, berapakah peluang untuk memperoleh dadu dengan mata 1 atau 3 ?

Jawab:

A = {1}, B = {3}

n(A) = 1, n(B) = 1

Peluang untuk memperoleh dadu mata 1 atau 3, yaitu:

P (A ∪ B) = P(A) + P (B)

P (A ∪ B)  = 1/ 6 + 1/ 6 = 2/ 6 = 1/ 3

4. Dua Kejadian Saling Bebas

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Dirumuskan:

P (A ∩ B) = P (A) X P (B)

Contoh soal 4:

Apabila peluang Ahmad bisa menyelesaikan sebuah soal yaitu 0,4 serta peluang Badruz bisa menyelesaikan soal yang sama yaitu 0,3 maka peluang mereka berdua bisa menyelesaikan soal tersebut yaitu …

Jawab:

P(A) = 0,4

P(B) = 0,3

Peluang Ahmad dan Badruz bisa menyelesaikan soal adalah:

P (A ∩ B) = P (A) X P (B) = 0,4 x 0,3 = 0,12

5. Dua Kejadian Bersyarat

Apabila kejadian A serta B tidak saling bebas, kejadian B dipengaruhi oleh kejadian A ataupun kejadian B dengan syarat A, maka dapat kita rumuskan menjadi:

P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) atau P (A ∩ B) = P(A) x P(B | A)

Contoh soal 5:

Suatu dadu dilempar sekali. Hitunglah peluang munculnya mata dadu ganjil (1, 3, 5) dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima (2, 3, 5) terlebih dahulu.

Jawab:

Diketahui;

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6

A = Kejadian munculnya angka prima

A = {2, 3, 5}, n(A) = 3

P(A) = n(A)/ n(S) = 3/ 6 = 1/ 2

B = Kejadian muncul mata dadu ganjil

B = {1, 3, 5}

P(A) = n(A)/ n(S) = 3/ 6 = 1/ 2

Peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima terlebih dahulu adalah:

P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) = (1/4) / (1/2) = 1/2

Rumus Formula Kejadian Majemuk

No.

Jenis Kejadian Majemuk

Rumus

1

Dua Kejadian Sembarang

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

2

Komplemen Suatu Kejadian

P (Ac) = 1 – P (A)

3

Dua Kejadian Saling Lepas

P (A ∪ B) = P(A) + P (B)

4

Dua Kejadian Saling Bebas

P (A ∩ B) = P (A) X P (B)

5

Dua Kejadian Bersyarat

P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) atau P (A ∩ B) = P(A) x P(B | A)

Di bawah ini dijelaskan aturan perkalian, faktorial, kombinasi, ruang sampel, peluang kejadian, dan frekuensi harapan.permutasi.

A. Aturan Perkalian

Apabila sebuah kejadian bisa terjadi dalam m cara serta kejadian kedua bisa terjadi dalam n cara, maka pasangan kejadian bisa terjadi:

Rumus Formula Aturan Perkalian

m x n cara

Keterangan:

m: merupakan kejadian pertaman.

n: merupakan kejadian kedua.

Prinsip ini bisa digenerelasasikan dalam memasukan banyak kejadian yang bisa berlangsung di dalam n1,n2,n3,…nk cara.

Banyaknya k kejadian bisa berlangsung atau terjadi dalam n1.n2.n3.…nk cara.

Contoh soal 6:

Ahmad memiliki 3 celana berwarna hitam, biru dan juga merah serta memiliki 4 kaos berwarna biru, merah, kuning, dan juga merah muda. Berapa banyak pasang cara Ahmad untuk memilih celana serta baju?

Jawab:

n1 = Kejadian 1 (celana) = 3

n2 = Kejadian 2 (kaos) = 4

Banyak pasang cara Gilang dalam memilih celana dan baju adalah:

n1 × n2 = 3 × 4 = 12 cara.

B. Faktorial 

Dalam pelajaran matematika, faktorial dari bilangan asli n merupakan suatu hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n.

Faktorial juga biasa dinotasikan dengan penggunaan huruf: n! dan dibaca n faktorial.

Rumus Formula Faktorial

n! = n . (n -1) . (n – 2) . ….. 1

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

dan begitu juga seterusnya.

C. Permutasi

Permutasi merupakan suatu susunan unsur berbeda yang terbentuk dari n unsur, diambil dari n unsur ataupun sebagian unsur.

Permutasi bisa dikelompokkan menjadi beberapa macam.

Rumus Formula Permutasi

No.

Jenis Permutasi

Rumus

1

Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen

P(n,n) = n! atau nPn = n!

2

Permutasi n elemen, tiap permutasi terdiri dari r unsur darin elemen r < n.

P(n-r) = nPr = Pnr = n!/ (n – r)!

3

Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q serta r unsur yang sama.

P(n,k1,k2, kt) = n!/ k1!k2! … kt!

4

Permutasi siklis.

nPsiklis = (n – 1)!

5

Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur.

Pn = nk

 

1.      Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen

Jika ada unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyaknya susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah  P(n,n) = n! atau nPn = n!

Contoh soal 7:

Dalam menyambut suatu pertemuan delegasi negara yang dihadiri sebanyak lima negara, panitia akan kemudian memasang kelima bendera dari lima negara yang nantinya akan hadir.

Banyaknya cara panitia dakam menyusun kelima bendera tersebut terdapat berapa cara?

Jawab:

Dari lima bendera yang tersedia, itu artinya n = 5, maka banyak susunan bendera yang mungkin adalah:

5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara.

2.      Permutasi n elemen, masing-masing permutasi terdiri dari r unsur dari n elemen dengan r ≤ n

Untuk seluruh bilangan positif n serta r, dengan r ≤ n, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek dalam satu waktu yaitu:

P(n-r) = nPr = Pnr = n!/ (n – r)!

*syarat urutan perlu diperhatikan

Contoh soal 8:

Banyak cara dalam memilih seorang ketua, sekertaris dan juga bendahara dari 8 siswa yang tersedia ialah…

Jawab:

Diketahui:

·      Banyak siswa, n = 8

·      Ketua, sekretaris, serta bendahara (banyak pilihan objek), r = 3

Sehingga:

 cara

 

D.    Kombinasi

Kombinasi merupakan suatu pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya.

Kombinasi pada umumnya dinotasikan seperti:

Cnr = nCr

Rumus atau Formula Kombinasi

nCr = n!/ (n-r)!r!

Contoh soal 9:

Banyak cara untuk memilih pemain inti dari suatu tim basket dari 9 orang yaitu…

Jawab:

Diketahui:

Suatu tim basket terdiri atas 5 orang, r = 5

Banyak orang yang bisa dipilih adalah n = 9

Banyak cara untuk memilih pemain inti dari suatu tim basket adalah:

nCr= 9!/ (9-5)!5! = 9.8.7.6.5!/ 4!.5! = 9.8.7.6/4.3.2.1 = 126 cara

Contoh soal 10:

Dalam suatu wadah terdapat 2 kelereng merah (M) dan 2 kelereng putih (P). Diambil 3 kelereng secara random (sekali pengambilan). Berapa peluang terambil 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih?

Jawab:

Diketahui:

Ada 2 keleng merah, terambil 2 ®  = 1

Ada 2 keleng putih, terambil 1  ®  = 2

Ada 4 keleng, terambil 3            ®  = 4

Jadi peluang 2M dan 1P adalah:

E.     Ruang Sampel

Ruang sampel (S) adalah kumpulan dari hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.  Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel, sedangkan kumpulan dari beberapa titik sampel disebut kejadian.

Banyak ruang sampel disimbolkan dengan n(S).

F.     Peluang Kejadian

Sebagai contoh S merupakan ruang sampel dari sebuah percobaan dengan masing-masing anggota S mempunyai kesempatan muncul yang sama dan K merupakan sebuah kejadian dengan K⊂S, sehingga peluang kejadian K adalah:

Rumus atau Formula Peluang Kejadian

P(K) = n(K) / n(S)

dengan 0 ≤ P(K) ≤ 1,

Keterangan:

n(K): merupakan banyak anggota dalam kejadian K.

n(S): merupakan banyak anggota dalam himpunan ruang sampel.

Contoh soal 11:

Satu buah dadu dilempar undi satu kali, peluang munculnya angka bilangan prima yaitu 2, 3, 5, 7, 11, dst.

 

Jawab:

Diketahui:

·         Ruang sampel dadu adalah (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  maka n(S) = 6

·         Muncul angka prima adalah (K) = {2, 3, 5} maka n(K) = 3

Sehingga peluang munculnya angka bilangan prima adalah:

P(K) = n(K) / n(S) = 3/ 6 = 1/ 2

G.    Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan merupakan banyaknya kejadian yang diharapkan bisa berlangsung atau terjadi pada sebuah percobaan.

Apabila sebuah percobaan dilakukan sebanyak n kali serta  nilai kemungkinan berlangsung kejadian K pada masing-masing percobaan ialah P(K), maka frekuensi harapan kejadian K yaitu:

Rumus atau Formula Frekuensi Harapan

Fh(K) =  n x P(K)

Sebagai contoh 12:

Satu buah dadu dilempar sebanyak 120 kali, maka frekuensi harapan munculnya mata dadu faktor dari 6 yaitu 1, 2, 3, 6 adalah ….

Jawab:

Diketahui:

·         S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ↔ n(S) = 6

·         K : Faktor dari 6 = {1, 2, 3, 6} ↔ n(A) = 4

·         n = Banyak lemparan = 120

Sehingga;

P(K) = n(K) / n(S) = 4/ 6 = 2/ 3

Sehingga frekuensi harapan muncul faktor dari 6 yaitu:

Fh(K) =  n x P(K) = 120 x 2/ 3 = 80 kali


di
Label:

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)