TEORI PELUANG

 

Matematika Bisnis

Pertemuan 13

 

TEORI PELUANG

Teori peluang adalah cabang matematika yang berkaitan dengan peluang, analisis fenomena acak. Objek utama teori peluang adalah variabel acak, proses stokastik

Peluang merupakan sebuah nilai antara 0 hingga 1 yang menggambarkan kemungkinan pada sebuah peristiwa yang akan terjadi.

Kejadian majemuk adalah jika terdapat suatu kejadian atau percobaan yang berlangsung lebih dari satu kali sehingga menghasilkan kejadian baru, di mana kejadian baru tersebutlah yang disebut sebagai kejadian majemuk.

Beberapa kejadian yang dikatakan sebagai kejadian majemuk, diantaranya yaitu:

1. Dua Kejadian Sembarang

Dalam dua kejadian sembarang A serta B dalam ruang sampel S, maka akan berlaku rumus:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

Contoh soal 1:

Diketahui dari 45 siswa dalam suatu kelas, terdapat 28 siswa yang suka pada mapel Matematika, 22 siswa suka pada mapel bahasa Inggris, serta sisa 10 siswa suka kedua-duanya.

Apabila seorang siswa dipilih secara acak, maka tentukan peluang siswa yang terpilih merupakan siswa yang menyukai Matematika ataupun bahasa Inggris!

Diketahui:

• n(S) = 45 (banyaknya anggota himpunan semesta)
• Suka Matematika, n(M) = 28
• Suka Bahasa Inggris, n(B) = 22
• Suka keduanya, n(M ∩ B ) = 10

Jawab:

• n(S) = 45
• Suka Matematika, n(M) = 28
• Suka Bahasa Inggris, n(B) = 22
• Suka keduanya, n(M ∩ B ) = 10

Peluang di mana akan terpilih yang suka Matematika atau Bahasa Inggris adalah:

P (M ∪ B) = P (M) + P (B) – P (M ∩ B)

= 28/45 + 22/45 – 10/45

= 40/ 45

= 8/ 9

2. Komplemen Suatu Kejadian

Adapun rumus untuk mencari komplemen pada suatu kejadian, yaitu:

P (A^c) = 1 – P (A)

Contoh soal 2:

Suatu dadu dilempar sekali ke atas, maka hitunglah peluang munculnya mata dadu lebih dari dua.

Jawab:

Suatu dadu dilempar sekali, sehingga n (S) = 6

Apabila A = {mata dadu lebih dari sama dengan 2}

Maka dari itu, A^c = { mata dadu kurang dari atau sama dengan 2 } = {1, 2}, n(A^c) = 2

P (A^c) = n(A^c)/ n(S) = 2/ 6 = 1/ 3

Sehingga,

P (A) = 1 – P (A^c)

= 1 – 1/3

= 2/ 3

Sehingga, peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 yaitu 2/3.

3. Dua Kejadian Saling Lepas

Adapun rumus untuk menentukan dua kejadian saling lepas, yaitu:

P (A ∪ B) = P(A) + P (B)

Contoh soal 3:

Pada pelemparan satu dadu bermata 6, berapakah peluang untuk memperoleh dadu dengan mata 1 atau 3 ?

Jawab:

A = {1}, B = {3}

n(A) = 1, n(B) = 1

Peluang untuk memperoleh dadu mata 1 atau 3, yaitu:

P (A ∪ B) = P(A) + P (B)

P (A ∪ B)  = 1/ 6 + 1/ 6 = 2/ 6 = 1/ 3

4. Dua Kejadian Saling Bebas

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Dirumuskan:

P (A ∩ B) = P (A) X P (B)

Contoh soal 4:

Apabila peluang Ahmad bisa menyelesaikan sebuah soal yaitu 0,4 serta peluang Badruz bisa menyelesaikan soal yang sama yaitu 0,3 maka peluang mereka berdua bisa menyelesaikan soal tersebut yaitu …

Jawab:

P(A) = 0,4

P(B) = 0,3

Peluang Ahmad dan Badruz bisa menyelesaikan soal adalah:

P (A ∩ B) = P (A) X P (B) = 0,4 x 0,3 = 0,12

5. Dua Kejadian Bersyarat

Apabila kejadian A serta B tidak saling bebas, kejadian B dipengaruhi oleh kejadian A ataupun kejadian B dengan syarat A, maka dapat kita rumuskan menjadi:

P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) atau P (A ∩ B) = P(A) x P(B | A)

Contoh soal 5:

Suatu dadu dilempar sekali. Hitunglah peluang munculnya mata dadu ganjil (1, 3, 5) dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima (2, 3, 5) terlebih dahulu.

Jawab:

Diketahui;

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6

A = Kejadian munculnya angka prima

A = {2, 3, 5}, n(A) = 3

P(A) = n(A)/ n(S) = 3/ 6 = 1/ 2

B = Kejadian muncul mata dadu ganjil

B = {1, 3, 5}

P(A) = n(A)/ n(S) = 3/ 6 = 1/ 2

Peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima terlebih dahulu adalah:

P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) = (1/4) / (1/2) = 1/2

Rumus Formula Kejadian Majemuk

No.	Jenis Kejadian Majemuk	Rumus
1	Dua Kejadian Sembarang	P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
2	Komplemen Suatu Kejadian	P (Ac) = 1 – P (A)
3	Dua Kejadian Saling Lepas	P (A ∪ B) = P(A) + P (B)
4	Dua Kejadian Saling Bebas	P (A ∩ B) = P (A) X P (B)
5	Dua Kejadian Bersyarat	P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) atau P (A ∩ B) = P(A) x P(B | A)

Di bawah ini dijelaskan aturan perkalian, faktorial, kombinasi, ruang sampel, peluang kejadian, dan frekuensi harapan.permutasi.

A. Aturan Perkalian

Apabila sebuah kejadian bisa terjadi dalam m cara serta kejadian kedua bisa terjadi dalam n cara, maka pasangan kejadian bisa terjadi:

Rumus Formula Aturan Perkalian

m x n cara

Keterangan:

m: merupakan kejadian pertaman.

n: merupakan kejadian kedua.

Prinsip ini bisa digenerelasasikan dalam memasukan banyak kejadian yang bisa berlangsung di dalam n₁,n₂,n₃,…n_k cara.

Banyaknya k kejadian bisa berlangsung atau terjadi dalam n₁.n₂.n₃.…n_k cara.

Contoh soal 6:

Ahmad memiliki 3 celana berwarna hitam, biru dan juga merah serta memiliki 4 kaos berwarna biru, merah, kuning, dan juga merah muda. Berapa banyak pasang cara Ahmad untuk memilih celana serta baju?

Jawab:

n₁ = Kejadian 1 (celana) = 3

n₂ = Kejadian 2 (kaos) = 4

Banyak pasang cara Gilang dalam memilih celana dan baju adalah:

n₁ × n₂ = 3 × 4 = 12 cara.

B. Faktorial 

Dalam pelajaran matematika, faktorial dari bilangan asli n merupakan suatu hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n.

Faktorial juga biasa dinotasikan dengan penggunaan huruf: n! dan dibaca n faktorial.

Rumus Formula Faktorial

n! = n . (n -1) . (n – 2) . ….. 1

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

dan begitu juga seterusnya.

C. Permutasi

Permutasi merupakan suatu susunan unsur berbeda yang terbentuk dari n unsur, diambil dari n unsur ataupun sebagian unsur.

Permutasi bisa dikelompokkan menjadi beberapa macam.

Rumus Formula Permutasi

No.	Jenis Permutasi	Rumus
1	Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen	P(n,n) = n! atau nPn = n!
2	Permutasi n elemen, tiap permutasi terdiri dari r unsur darin elemen r < n.	P(n-r) = nPr = Pnr = n!/ (n – r)!
3	Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q serta r unsur yang sama.	P(n,k1,k2, kt) = n!/ k1!k2! … kt!
4	Permutasi siklis.	nPsiklis = (n – 1)!
5	Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur.	Pn = nk

 

1.      Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen

Jika ada unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyaknya susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah  P_(n,n) = n! atau _nP_n = n!

Contoh soal 7:

Dalam menyambut suatu pertemuan delegasi negara yang dihadiri sebanyak lima negara, panitia akan kemudian memasang kelima bendera dari lima negara yang nantinya akan hadir.

Banyaknya cara panitia dakam menyusun kelima bendera tersebut terdapat berapa cara?

Jawab:

Dari lima bendera yang tersedia, itu artinya n = 5, maka banyak susunan bendera yang mungkin adalah:

5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara.

2.      Permutasi n elemen, masing-masing permutasi terdiri dari r unsur dari n elemen dengan r ≤ n

Untuk seluruh bilangan positif n serta r, dengan r ≤ n, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek dalam satu waktu yaitu:

P_(n-r) = _nP_r = Pⁿ_r = n!/ (n – r)!

*syarat urutan perlu diperhatikan

Contoh soal 8:

Banyak cara dalam memilih seorang ketua, sekertaris dan juga bendahara dari 8 siswa yang tersedia ialah…

Jawab:

Diketahui:

·      Banyak siswa, n = 8

·      Ketua, sekretaris, serta bendahara (banyak pilihan objek), r = 3

Sehingga:

 cara

 

D.    Kombinasi

Kombinasi merupakan suatu pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya.

Kombinasi pada umumnya dinotasikan seperti:

Cⁿ_r = _nC_r

Rumus atau Formula Kombinasi

_nC_r = n!/ (n-r)!r!

Contoh soal 9:

Banyak cara untuk memilih pemain inti dari suatu tim basket dari 9 orang yaitu…

Jawab:

Diketahui:

Suatu tim basket terdiri atas 5 orang, r = 5

Banyak orang yang bisa dipilih adalah n = 9

Banyak cara untuk memilih pemain inti dari suatu tim basket adalah:

_nC_r= 9!/ (9-5)!5! = 9.8.7.6.5!/ 4!.5! = 9.8.7.6/4.3.2.1 = 126 cara

Contoh soal 10:

Dalam suatu wadah terdapat 2 kelereng merah (M) dan 2 kelereng putih (P). Diambil 3 kelereng secara random (sekali pengambilan). Berapa peluang terambil 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih?

Jawab:

Diketahui:

Ada 2 keleng merah, terambil 2 ®  = 1

Ada 2 keleng putih, terambil 1  ®  = 2

Ada 4 keleng, terambil 3            ®  = 4

Jadi peluang 2M dan 1P adalah:

E.     Ruang Sampel

Ruang sampel (S) adalah kumpulan dari hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.  Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel, sedangkan kumpulan dari beberapa titik sampel disebut kejadian.

Banyak ruang sampel disimbolkan dengan n(S).

F.     Peluang Kejadian

Sebagai contoh S merupakan ruang sampel dari sebuah percobaan dengan masing-masing anggota S mempunyai kesempatan muncul yang sama dan K merupakan sebuah kejadian dengan K⊂S, sehingga peluang kejadian K adalah:

Rumus atau Formula Peluang Kejadian

P(K) = n(K) / n(S)

dengan 0 ≤ P(K) ≤ 1,

Keterangan:

n(K): merupakan banyak anggota dalam kejadian K.

n(S): merupakan banyak anggota dalam himpunan ruang sampel.

Contoh soal 11:

Satu buah dadu dilempar undi satu kali, peluang munculnya angka bilangan prima yaitu 2, 3, 5, 7, 11, dst.

 

Jawab:

Diketahui:

·         Ruang sampel dadu adalah (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  maka n(S) = 6

·         Muncul angka prima adalah (K) = {2, 3, 5} maka n(K) = 3

Sehingga peluang munculnya angka bilangan prima adalah:

P(K) = n(K) / n(S) = 3/ 6 = 1/ 2

G.    Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan merupakan banyaknya kejadian yang diharapkan bisa berlangsung atau terjadi pada sebuah percobaan.

Apabila sebuah percobaan dilakukan sebanyak n kali serta  nilai kemungkinan berlangsung kejadian K pada masing-masing percobaan ialah P(K), maka frekuensi harapan kejadian K yaitu:

Rumus atau Formula Frekuensi Harapan

Fh(K) =  n x P(K)

Sebagai contoh 12:

Satu buah dadu dilempar sebanyak 120 kali, maka frekuensi harapan munculnya mata dadu faktor dari 6 yaitu 1, 2, 3, 6 adalah ….

Jawab:

Diketahui:

·         S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ↔ n(S) = 6

·         K : Faktor dari 6 = {1, 2, 3, 6} ↔ n(A) = 4

·         n = Banyak lemparan = 120

Sehingga;

P(K) = n(K) / n(S) = 4/ 6 = 2/ 3

Sehingga frekuensi harapan muncul faktor dari 6 yaitu:

Fh(K) =  n x P(K) = 120 x 2/ 3 = 80 kali

DIRERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

 

 

DIRERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

 

Teori Diferensial

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas.

Berikut ini disajikan sejumlah kaidah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi tertentu.

1.      Diferensial konstanta

Jika y = k, di mana k adalah konstanta, maka  

Contoh: y = 5,   

2.      Diferensial fungsi pangkat

Jika y = xⁿ, di mana n adalah konstanta, maka

Contoh: y = x³,  

3.      Diferensial perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = kv, di mana v = h(x), maka

Contoh: y = 5x³,  

4.      Diferensial pembagian konstanta dengan fungsi

Jika    maka diubah menjadi y = kv^-1 baru diturunkan

Contoh: ,    =  ?  Jawab :   , maka

5.      Diferensial penjumlahan (pengurangan) fungsi

Jika y = u ± v, di mana u = g(x) dan v = h(x) maka

Contoh:    y = 4x² + x³   misalkan u = 4x² à du/dx = 8x dan v = x³ à dv/dx = 3x²

       

Bentuk struktur Organisasi vertikal

1.       Bentuk struktur Organisasi vertikal

Dalam bagan ini, sistem organisasi pimpinan sampai organisasi atau pejabat yang lebih rendah digariskan dari atas ke bawah secara vertical, contohnya adalah             struktur organisai perusahaan PT PERTAMINA.

 

2.       Bentuk struktur organisasi Horizontal

Dikatakan sebagai bagan horizontal karena bagan ini menuliskan tingkatan jabatannya kesamping. Seperti contoh gambar bagan dibawah ini, contohnya adalah struktur organisasi perusahaan PT. PINDAD

CONTOH SOP (dalam perekrutan karyawan baru

 

Contoh SOP (Standard Operating Procedures) dalam Perekrutan Karyawan Baru

 

SOP sendiri sebenarnya berfungsi untuk membuat proses pekerjaan menjadi lebih sederhana dan mudah dipahami oleh para pekerja atau karyawan. Dengan begitu para pekerja dapat melaksanakan pekerjaan yang harus mereka lakukan. SOP dapat diterapkan di berbagai macam bidang dalam sebuah organisasi atau perusahaan. Salah satu jenis SOP yang banyak digunakan oleh sebuah perusahaan adalah SOP dalam perekrutan karyawan baru.

Dalam membuat SOP rekruitmen karyawan baru sebuah perusahaan akan melakukan beberapa tahapan yang meliputi penyeleksian, pelatihan, evaluasi, dan hal-hal lain yang menyangkut ke dalam bidang pengembangan sumber daya manusia. Untuk lebih jelasnya, berikut contoh SOP perekrutan karyawan baru di dalam sebuah perusahaan:

1. Tujuan

Perusahaan membutuhkan karyawan baru yang sesuai dengan kebutuhan dan ketentuan yang berlaku di perusahaan sehingga dapat membantu meningkatkan hasil kerja perusahaan di masa depan.

2. Ruang Lingkup

Prosedur ini meliputi penentuan jumlah karyawan, pengumuman perekrutan karyawan, pelaksanaan perekrutan karyawan hingga penentuan karyawan baru yang telah lolos tahap penyeleksian.

3. Tolak Ukur

Mendapatkan karyawan baru yang sesuai dengan kebutuhan dan ketentuan yang telah ditetapkan oleh perusahaan dan mampu melaksanakan tugas serta bertanggung jawab terhadap pekerjaan sesuai dengan deskripsi setiap pekerjaan yang telah ditentukan.

4. Prosedur

Urutan proses kerja yang harus dilaksanakan :

1.      Pihak penanggung jawab yang berasal dari berbagai macam bidang di perusahaan tersebut dapat mengajukan permintaan penambahan karyawan baru dengan jumlah dan kriteria karyawan baru yang telah disesuaikan dengan kebutuhan kepada bidang personalia.

2.      Bagian personalia akan meninjau dan mempertimbangkan tentang permintaan penambahan karyawan baru yang telah diajukan para penanggung jawab dari berbagai macam bidang tersebut dan segera melaporkannya kepada Direktur Perusahaan

3.      Direktur Perusahaan akan memberikan keputusan disetujui atau tidaknya permintaan penambahan karyawan baru tersebut dan memberitahukannya ke bagian personalia.

4.      Bagian personalia akan mengumumkan hasil keputusan yang diberikan oleh Direktur Perusahaan tersebut kepada pihak penanggung jawab yang telah mengajukan permintaan penambahan karyawan baru.

5.      Apabila Direktur Perusahaan menyetujui permintaan penambahan karyawan baru tersebut, bagian personalia akan menindaklanjuti hasil keputusan tersebut.

6.      Bagian personalia akan segera membuat pengumuman tentang perekrutan karyawan baru yang dibutuhkan oleh perusahaan.

7.      Pengumuman perekrutan karyawan baru akan diberitahukan kepada publik dalam bentuk iklan yang dipasang di berbagai macam media massa, seperti media televisi, radio dan surat kabar.

8.      Melakukan penerimaan berkas lamaran yang masuk ke perusahaan

9.      Melakukan proses seleksi berkas lamaran yang masuk ke perusahaan dan menyerahkannya ke bagian personalia

10.  Bagian personalia kemudian akan melakukan penyeleksian berkas lamaran tersebut sesuai dan kriteria yang dibutuhakan oleh perusahaan yang didasari oleh pedoman standard kompetensi karyawan dan key performance indicator (KPI)

11.  Bagian personalia akan memanggil para pelamar yang lolos tahap seleksi berkas lamaran untuk melakukan test.

12.  Bagian personalia akan memberikan keputusan mengenai proses test yang akan dilaksanakan, baik itu test psikologi, test tulis dan wawancara.

13.  Bagian personalia kemudian akan melakukan pengawasan saat proses test berlangsung.

14.  Bagian personalia akan memeriksa hasil test dan memberikan keputusan mengenai pelamar yang lolos test

15.  Bagian personalia akan menghubungi calon karyawan yang lolos test

16.  Bagian personalia kemudian akan memberitahukan hasil keputusan tersebut kepada Direktur Perusahaan dan segera melakukan pengangkatan calon karyawan menjadi karyawan tetap di perusahaan.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SOP PT PERTAMINA (PERSERO)

Dalam suatu perusahaan faktor sumber daya manusia merupakan kunci dari pencapaian tujuan perusahaan secara keseluruhan. Pelaksanaan rekrutmen, seleksi dan penempatan karyawan bukanlah proses yang mudah, karena pada dasarnya menuntut ketepatan dalam kualifikasi, waktu dan juga efisiensi. Kesuksesan rekrutmen, seleksi dan penempatan karyawan berarti terpilihnya karyawan-karyawan yang kompeten dan berkualitas. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana proses pelaksanaan rekrutmen, seleksi dan penempatan karyawan dalam perusahaan, mengetahui masalah-masalah apa yang dihadapai pada PT. PERTAMINA (PERSERO) Refinery Unit V Balikpapan pada saat proses pelaksanaan rekrutmen, seleksi dan penempatan karyawan, serta untuk menganalisis dan memberikan usulan altenatif penyelesaian masalah. Metode penelitian yang digunakan adalah metode penelitian deskriptif dengan pendekatan kualitatif. Teknik pengumpulan data melalui interview dan dokumentasi. Berdasarkan penelitian dan pengolahan data, maka penulis dapat menyimpulkan bahwa pelaksanaan sumber tenaga kerja yang dilakukan adalah internal dan eksternal. Perekrutan tidak dilakukan secara rutin, dapat dilihat dari kesenjangan usia yang terpaut jauh antara karyawan baru dan karyawan lama. Para pelamar hanya dapat mengikuti tiap tes seleksi satu kali karena PT. PERTAMINA (PERSERO) memakai sistem succesive hurdles. Rentang waktu pelaksanaan rekrutmen dan seleksi relatif singkat. Penempatan karyawan dilakukan setelah calon karyawan melaksanakan orientasi dan dilaksanakannya yudisium penyerahan SK. SK penempatan tidak dilihat dari tempat calon karyawan melaksanakan orientasi sehingga calon karyawan harus beradaptasi kembali dengan lingkungan penempatan kerjanya setelah menjadi karyawan PT. PERTAMINA (PERSERO). Sistem yang dipakai PT. PERTAMINA (PERSERO) dalam mutasi penempatan menggunakan merit system karena didasarkan atas landasan yang bersifat ilmiah, objektif dan hasil prestasi kerjanya. Berdasarkan hasil penelitian saran yang dapat penulis berikan adalah perusahaan harus melakukan rekrutmen tenaga kerja secara rutin setiap tahun agar pengisian kekosongan tenaga kerja dapat segera di atasi dan kesenjangan usia karyawan lama dan karyawan baru tidak terpaut terlalu jauh, waktu proses penerimaan karyawan baru sebaiknya dilakukan dengan rentang waktu yang lebih lama, agar jumlah pelamar lebih besar yang memungkinkan perusahaan melakukan pemilihan dengan lebih leluasa, penempatan pada PT. PERTAMINA (PERSERO) sebaiknya ditujukan pada upaya untuk mengisi kebutuhan kompetensi pekerja dalam melaksanakan tugas pada jabatan yang dipegang atau ditempati. Maka dalam penempatan di usulkan tempat OJT karyawan baru merupakan daerah penempatan mereka nantinya.

Demikianlah salah satu contoh SOP Perekrutan Karyawan Baru yang biasa digunakan oleh sebuah perusahaan. SOP perekrutan karyawan baru di atas sebenarnya dapat dimodifikasi sesuai dengan ketentuan dan aturan yang berlaku di dalam setiap perusahaan.

dampak positif dan negatif dari keberagaman sumber daya manusia.