Matematika
Bisnis
Pertemuan
13
TEORI PELUANG
Teori peluang adalah cabang matematika yang
berkaitan dengan peluang, analisis fenomena acak. Objek utama teori peluang
adalah variabel acak, proses stokastik
Peluang merupakan sebuah nilai antara 0 hingga 1 yang
menggambarkan kemungkinan pada sebuah peristiwa yang akan terjadi.
Kejadian
majemuk adalah jika
terdapat suatu kejadian atau percobaan yang berlangsung lebih dari satu kali
sehingga menghasilkan kejadian baru, di mana kejadian baru tersebutlah yang
disebut sebagai kejadian majemuk.
Beberapa kejadian yang dikatakan sebagai
kejadian majemuk, diantaranya yaitu:
1. Dua Kejadian Sembarang
Dalam
dua kejadian sembarang A serta B dalam ruang sampel S, maka akan berlaku rumus:
P
(A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Contoh
soal 1:
Diketahui
dari 45 siswa dalam suatu kelas, terdapat 28 siswa yang suka pada mapel
Matematika, 22 siswa suka pada mapel bahasa Inggris, serta sisa 10 siswa suka
kedua-duanya.
Apabila
seorang siswa dipilih secara acak, maka tentukan peluang siswa yang terpilih
merupakan siswa yang menyukai Matematika ataupun bahasa Inggris!
Diketahui:
- n(S)
= 45 (banyaknya anggota himpunan semesta)
- Suka
Matematika, n(M) = 28
- Suka
Bahasa Inggris, n(B) = 22
- Suka
keduanya, n(M ∩ B ) = 10
Jawab:
- n(S)
= 45
- Suka
Matematika, n(M) = 28
- Suka
Bahasa Inggris, n(B) = 22
- Suka
keduanya, n(M ∩ B ) = 10
Peluang
di mana akan terpilih yang suka Matematika atau Bahasa Inggris adalah:
P
(M ∪
B) = P (M) + P (B) – P (M ∩ B)
=
28/45 + 22/45 – 10/45
=
40/ 45
=
8/ 9
2. Komplemen Suatu Kejadian
Adapun
rumus untuk mencari komplemen pada suatu kejadian, yaitu:
P
(Ac) = 1 – P (A)
Contoh
soal 2:
Suatu dadu dilempar sekali ke atas, maka
hitunglah peluang munculnya mata dadu lebih dari dua.
Jawab:
Suatu dadu dilempar sekali, sehingga n (S) = 6
Apabila A = {mata dadu lebih dari sama dengan 2}
Maka dari itu, Ac = { mata dadu kurang dari
atau sama dengan 2 } = {1, 2}, n(Ac) = 2
P (Ac) = n(Ac)/ n(S) = 2/ 6 = 1/ 3
Sehingga,
P (A) = 1 – P (Ac)
= 1 – 1/3
= 2/ 3
Sehingga, peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 yaitu
2/3.
3. Dua Kejadian Saling
Lepas
Adapun rumus untuk menentukan dua kejadian saling lepas,
yaitu:
P (A ∪ B) = P(A) + P (B)
Contoh
soal 3:
Pada pelemparan satu dadu bermata 6, berapakah peluang
untuk memperoleh dadu dengan mata 1 atau 3 ?
Jawab:
A = {1}, B = {3}
n(A) = 1, n(B) = 1
Peluang untuk memperoleh dadu mata 1 atau 3, yaitu:
P (A ∪ B) = P(A) + P (B)
P (A ∪ B) = 1/ 6 + 1/ 6 = 2/ 6 = 1/ 3
4. Dua Kejadian Saling
Bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A
tidak mempengaruhi kejadian B dan kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A.
Dirumuskan:
P (A ∩ B) = P (A) X P (B)
Contoh
soal 4:
Apabila peluang Ahmad bisa menyelesaikan sebuah soal yaitu
0,4 serta peluang Badruz bisa menyelesaikan soal yang sama yaitu 0,3 maka
peluang mereka berdua bisa menyelesaikan soal tersebut yaitu …
Jawab:
P(A) = 0,4
P(B) = 0,3
Peluang Ahmad dan Badruz bisa menyelesaikan soal adalah:
P (A ∩ B) = P (A) X P (B) = 0,4 x 0,3 = 0,12
5. Dua Kejadian Bersyarat
Apabila kejadian A serta B tidak saling bebas, kejadian B
dipengaruhi oleh kejadian A ataupun kejadian B dengan syarat A, maka dapat kita
rumuskan menjadi:
P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) atau P (A ∩ B) = P(A) x P(B | A)
Contoh
soal 5:
Suatu dadu dilempar sekali. Hitunglah peluang munculnya
mata dadu ganjil (1, 3, 5) dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima (2,
3, 5) terlebih dahulu.
Jawab:
Diketahui;
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
A = Kejadian munculnya angka prima
A = {2, 3, 5}, n(A) = 3
P(A) = n(A)/ n(S) = 3/ 6 = 1/ 2
B = Kejadian muncul mata dadu ganjil
B = {1, 3, 5}
P(A) = n(A)/ n(S) = 3/ 6 = 1/ 2
Peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya
kejadian mata dadu prima terlebih dahulu adalah:
P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) = (1/4) / (1/2) = 1/2
Rumus
Formula Kejadian Majemuk
|
No.
|
Jenis Kejadian Majemuk
|
Rumus
|
|
1
|
Dua Kejadian Sembarang
|
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
|
|
2
|
Komplemen Suatu Kejadian
|
P (Ac) = 1 – P (A)
|
|
3
|
Dua Kejadian Saling Lepas
|
P (A ∪ B) = P(A) + P (B)
|
|
4
|
Dua Kejadian Saling Bebas
|
P (A ∩ B) = P (A) X P (B)
|
|
5
|
Dua Kejadian Bersyarat
|
P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) atau P
(A ∩ B) = P(A) x P(B | A)
|
Di bawah ini dijelaskan aturan perkalian, faktorial, kombinasi,
ruang sampel, peluang kejadian, dan frekuensi harapan.permutasi.
A. Aturan Perkalian
Apabila sebuah kejadian bisa terjadi dalam m cara serta
kejadian kedua bisa terjadi dalam n cara, maka pasangan kejadian bisa terjadi:
Rumus Formula Aturan Perkalian
m x n cara
Keterangan:
m: merupakan kejadian pertaman.
n: merupakan kejadian kedua.
Prinsip ini bisa digenerelasasikan dalam memasukan banyak
kejadian yang bisa berlangsung di dalam n1,n2,n3,…nk cara.
Banyaknya k kejadian bisa berlangsung atau terjadi dalam n1.n2.n3.…nk cara.
Contoh
soal 6:
Ahmad memiliki 3 celana berwarna hitam, biru dan juga merah
serta memiliki 4 kaos berwarna biru, merah, kuning, dan juga merah muda. Berapa
banyak pasang cara Ahmad untuk memilih celana serta baju?
Jawab:
n1 = Kejadian 1 (celana) = 3
n2 = Kejadian 2 (kaos) = 4
Banyak pasang cara Gilang dalam memilih celana dan baju
adalah:
n1 × n2 =
3 × 4 = 12 cara.
B. Faktorial
Dalam pelajaran matematika, faktorial dari bilangan
asli n merupakan suatu hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang
kurang dari atau sama dengan n.
Faktorial juga biasa dinotasikan dengan penggunaan
huruf: n! dan dibaca n faktorial.
Rumus Formula Faktorial
n! = n . (n -1) . (n – 2) . ….. 1
0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
dan begitu juga seterusnya.
C. Permutasi
Permutasi merupakan suatu
susunan unsur berbeda yang terbentuk dari n unsur, diambil dari n unsur ataupun
sebagian unsur.
Permutasi bisa dikelompokkan menjadi beberapa macam.
Rumus Formula Permutasi
|
No.
|
Jenis
Permutasi
|
Rumus
|
|
1
|
Permutasi
dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen
|
P(n,n) =
n! atau nPn = n!
|
|
2
|
Permutasi
n elemen, tiap permutasi terdiri dari r unsur darin elemen r < n.
|
P(n-r) = nPr =
Pnr = n!/ (n – r)!
|
|
3
|
Permutasi
dari n unsur yang mengandung p.q serta r unsur yang sama.
|
P(n,k1,k2,
kt) = n!/ k1!k2! … kt!
|
|
4
|
Permutasi
siklis.
|
nPsiklis =
(n – 1)!
|
|
5
|
Permutasi
berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur.
|
Pn =
nk
|
1.
Permutasi
dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen
Jika ada unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyaknya
susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah P(n,n) =
n! atau nPn = n!
Contoh soal 7:
Dalam menyambut suatu pertemuan delegasi negara yang
dihadiri sebanyak lima negara, panitia akan kemudian memasang kelima bendera
dari lima negara yang nantinya akan hadir.
Banyaknya cara panitia dakam menyusun kelima bendera
tersebut terdapat berapa cara?
Jawab:
Dari lima bendera yang tersedia, itu artinya n = 5, maka
banyak susunan bendera yang mungkin adalah:
5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara.
2.
Permutasi
n elemen, masing-masing permutasi terdiri dari r unsur dari n elemen dengan r ≤
n
Untuk seluruh bilangan positif n serta r, dengan r ≤ n,
banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek dalam satu waktu yaitu:
P(n-r) = nPr =
Pnr = n!/ (n – r)!
*syarat urutan perlu diperhatikan
Contoh soal 8:
Banyak cara dalam memilih seorang ketua, sekertaris dan
juga bendahara dari 8 siswa yang tersedia ialah…
Jawab:
Diketahui:
·
Banyak siswa, n = 8
·
Ketua, sekretaris, serta
bendahara (banyak pilihan objek), r = 3
Sehingga:
cara
D.
Kombinasi
Kombinasi merupakan suatu pemilihan objek
tanpa memperhatikan urutannya.
Kombinasi pada umumnya dinotasikan seperti:
Cnr = nCr
Rumus atau Formula Kombinasi
nCr =
n!/ (n-r)!r!
Contoh soal 9:
Banyak cara untuk memilih pemain inti dari suatu tim basket
dari 9 orang yaitu…
Jawab:
Diketahui:
Suatu tim basket terdiri atas 5 orang, r = 5
Banyak orang yang bisa dipilih adalah n = 9
Banyak cara untuk memilih pemain inti dari suatu tim basket
adalah:
nCr= 9!/ (9-5)!5! = 9.8.7.6.5!/ 4!.5! = 9.8.7.6/4.3.2.1 = 126
cara
Contoh soal 10:
Dalam suatu wadah terdapat 2 kelereng merah (M) dan 2
kelereng putih (P). Diambil 3 kelereng secara random (sekali pengambilan).
Berapa peluang terambil 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih?
Jawab:
Diketahui:
Ada 2 keleng merah, terambil 2 ®
= 1
Ada 2 keleng putih, terambil 1 ®
= 2
Ada 4 keleng, terambil 3 ®
= 4
Jadi peluang 2M dan 1P adalah:
E.
Ruang
Sampel
Ruang sampel (S) adalah
kumpulan dari hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. Titik
sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel, sedangkan
kumpulan dari beberapa titik sampel disebut kejadian.
Banyak ruang sampel disimbolkan
dengan n(S).
F.
Peluang
Kejadian
Sebagai contoh S merupakan ruang sampel dari sebuah
percobaan dengan masing-masing anggota S mempunyai kesempatan muncul yang sama
dan K merupakan sebuah kejadian dengan K⊂S, sehingga peluang kejadian K adalah:
Rumus atau Formula Peluang Kejadian
P(K) = n(K) / n(S)
dengan 0 ≤ P(K) ≤ 1,
Keterangan:
n(K): merupakan banyak anggota dalam kejadian K.
n(S): merupakan banyak anggota dalam himpunan ruang sampel.
Contoh soal 11:
Satu buah dadu dilempar undi satu kali, peluang munculnya
angka bilangan prima yaitu 2, 3, 5, 7, 11, dst.
Jawab:
Diketahui:
·
Ruang sampel dadu adalah (S)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S) = 6
·
Muncul angka prima adalah
(K) = {2, 3, 5} maka n(K) = 3
Sehingga peluang munculnya angka bilangan prima adalah:
P(K) = n(K) / n(S) = 3/ 6 = 1/ 2
G.
Frekuensi
Harapan
Frekuensi harapan merupakan banyaknya kejadian
yang diharapkan bisa berlangsung atau terjadi pada sebuah percobaan.
Apabila sebuah percobaan dilakukan sebanyak n kali
serta nilai kemungkinan berlangsung kejadian K pada masing-masing
percobaan ialah P(K), maka frekuensi harapan kejadian K yaitu:
Rumus atau Formula Frekuensi Harapan
Fh(K) = n x P(K)
Sebagai contoh 12:
Satu buah dadu dilempar sebanyak 120 kali, maka frekuensi
harapan munculnya mata dadu faktor dari 6 yaitu 1, 2, 3, 6 adalah ….
Jawab:
Diketahui:
·
S = {1, 2, 3, 4, 5,
6} ↔ n(S) = 6
·
K : Faktor dari 6 = {1, 2,
3, 6} ↔ n(A) = 4
·
n = Banyak lemparan = 120
Sehingga;
P(K) = n(K) / n(S) = 4/ 6 = 2/ 3
Sehingga frekuensi harapan muncul faktor dari 6 yaitu:
Fh(K) = n x P(K) = 120 x 2/ 3 = 80 kali
